
В 1918 году поступила учиться на медицинское отделение московских Высших женских курсов, параллельно занималась в студии «Молодые мастера». В 1920 году поступила во 2-ю студию МХТ, начала принимать участие в спектаклях МХАТа. В 1921 году Клавдия Николаевна вышла замуж на актёра и режиссёра И. Я. Судакова.
В 1924 году Клавдия Еланская была принята в труппу МХАТ. Еланская, обладая выразительной внешностью и хорошо поставленным голосом закрепилась в амплуа героини. Рациональный подход к работе над ролью соединялся у Клавдии Николаевны с сильной эмоциональностью, ярким и мощным природным темпераментом. Свои лучшие роли Еланская сыграла в пьесах русского классического репертуара.
Клавдия Николаевна скончалась 25 сентября 1972 года.
.